四環凍干機—真空冷凍干燥傳熱傳質原理（六）

以往的研究大都是研究宏觀參數，如壓力、溫度和物料的宏觀尺寸等對凍干過程熱傳遞的影響，物料微觀結構的影響忽略不計或被簡化，因此，只是對于均質的液態物料和結構單一固態物料比較適用。對于一般生物材料,凍干過程已干層多孔介質實際上不是均勻的，而是具有分形的特點。然而分形多孔介質中的擴散已不再滿足歐式空間的Fick定律，擴散速率較歐式空間減慢了，擴散系數不是常數，與擴散距離還有關。已干層分形特征如何確定，以及怎么影響凍干過程熱質傳遞，都是有待研究的問題。

從考慮生物材料的微觀結構出發，根據已干層的顯微照片分析生物材料已干層多孔介質的分形特性，確定已干層多孔介質的分形維數和譜維數，推導分形多孔介質中氣體擴散方程，然后在1998年Sheehan和Liapis提出的非穩態軸對稱模型的基礎上建立了考慮了已干層的分形特點的生物材料凍干過程熱質傳遞的模型，即惰性氣體和水蒸氣在已干層中的連續方程采用的是分形多孔介質中的擴散方程，擴散系數隨已干層厚度的增加呈指數下降。為了驗證模型的正確性，以螺旋藻為研究對象，用Jacquin等的方法根據螺旋藻已干層的顯微照片確定螺旋藻已干層分形維數，用張東暉等人的方法求分形多孔介質的譜維數。模型的求解借助Matlab和Fluent軟件，模擬了螺旋藻的凍干過程。

 2.2.3.1分型多孔介質中氣體擴散方程的推導

通常流體的擴散滿足Fick定律，固相中的擴散也常常沿襲流體擴散過程的處理方法。如果氣體的分子直徑自由程遠大于微孔直徑，則分子對孔壁的碰撞要比分子之間的相互碰撞頻繁得多。其微孔內的擴散阻力主要來自分子對孔壁的碰撞，這就是克努森擴散，傳統的凍干模型已干層中水蒸氣和惰性氣體的擴散都是按傳統的歐氏空間的克努森擴散處理的，但對于生物材料已干層中的孔隙一般都具有分形的特征，使氣體在其中的擴散也具有分形的特點，下面從確定已干層分形特征入手，來推導已干層分形多孔介質中的氣體擴散方程。

 2.2.3.2已干層多孔介質結構特性

生物材料凍干過程已干層多孔介質的結構特性是影響凍干過程傳熱傳質的很重要的一個因素。當孔隙具有分形特點時, 多孔介質中的熱質傳遞不僅與為孔隙率有關, 還與孔隙的大小和排列有關，與孔隙的分形維數和譜維數有關。

（1）孔隙率的確定  與計算機所產生的圖像不同，實驗圖噪聲比較大，不便于直接利用軟件對圖像進行數字處理。在分析圖像之前，需要恰當地處理圖像，目的就是減少噪聲，使圖像主要信息表達更加清楚。利用 Matlab 圖像處理把彩色圖像轉換為黑白圖像（二值圖)時，要給出黑與白的分界值， 即像素的顏色閾值，低于閾值的像素定義為白色，代表孔隙，否則為黑色，代表固體物料。轉化工具為Mat-lab的im2bw命令。

圖2-18為螺旋藻已干層顯微照片，當顏色閾值取0.35時，圖2-18對應的二值圖如圖2-19所示，考慮到在顯微鏡下觀測螺旋藻已干層結構時有一定的厚度，固體物料有重疊，為了使處理的圖像更接近實際結構，這里閾值取偏小值0.35。在Matlab中二值圖是用1和0的邏輯矩陣存儲的，0為黑, 1為白，且很容易對矩陣進行各種運算。通過統計矩 0和1的數可得螺旋藻已干層孔隙率為0.83。

(2)分形維數的確定   多孔介質孔隙分形維數的計算用常規的盒子法，即用等分的正方形網格覆蓋所讀人的圖像，網格單元的尺度為r。然后檢測每個網格單元中0和1的值，統計標記為1的單元數N(r)。N(r)和1/r分別取成對數后，在以lnN(r)為Y軸坐標，以In(l/r)為X軸的坐標上產生一個點，從兩個像素開始，以一個像素為步長逐步增加，對應每一個r值，重復上述過程，得到一系列這樣的點，再根據這些點擬合成一直線，其斜率即為分形維數。為了減小計算量，取圖2-18—小部分進行計算,選中的小圖對應的二值圖2-19所示。按這種方法計算的圖2-20的所示多孔介質的分形維數的結果見圖2-21,圖中離散點用上述方法得到, 計算中,覆蓋網格分別取5X5～14X14。回歸直線方程為

相關系數為0.99628，其斜率即孔隙分形維數d_f= l. 722。

(3)譜維數的確定 Anderson等通過分形網格的模擬，得到時間t內，物質粒子所訪問過的不同格子數Din(t)與譜維數d存在下述關系：

根據此式，就可以計算得到分形結構的譜維數d。具體過程為從分形結構中某一孔隙格子處發出一個物質粒子，物質粒子在分形結構中的孔隙中各自隨機行走，計算時采用近似的螞蟻行走模型。如果行走到的格子以前沒有訪問過，那么就在獨立訪問過的格子數總和中加1[Din(t)=Din(t)+1]; 如果行走到的格子以前訪問過，那么就在訪問過的格子數總和中加 1(Null=Null+1)；如果行走碰到分形結構的邊界，那么行走終止，再在上面初始處發出一個物質粒子，由于是隨機行走，此粒子的行走軌跡與剛才是不同的，最后對某時刻Din(t)求平均值，得到一組[Din(t),t]對應值，取對數坐標，可以看到兩者是直線關系，由式(2-91)可知，直線的斜率就是d/2。譜維數與孔隙分形維數有很大關聯，孔隙分形維數越小，意味著分形結構中孔隙的比例少，相同時間內，粒子行走越狹窄，重復過的彎路越多，其所經過的不同格子數越少，那么譜維數也就相應小一些。對于孔隙分形維數相同的分形結構，如果孔隙分布排列不一樣，兩者之間的譜維數值一定也會有差別。

從圖2-20分形多孔介質中孔隙部分任取一點，依次發出1000個物質粒子，覆蓋網格重40x40,由上面的測定方法統計計算的結果見圖2-22中的離散點，回歸直線方程為：

直線斜率為0.67405，從而可得孔隙的譜維數d=1.348。

2.2.3.3分型多孔介質中的擴散系數

擴散系數的實質是單位時間粒子所傳輸的空間，在普通擴散過程中，隨機行走的平均平方距離與時間成正比的關系：

式中，<r²(t)>為隨機行走的平均平方距離。在分形多孔介質中，由張東暉等人的研究可知，平均平方距離和時間存在指數關系，

α被稱為與分形布朗運動相關聯的行走維數，Orbach等發現

由此也可看到：譜維數是分形介質靜態結構和動態特性的一個中間橋梁。

在處理具有分形特征介質的擴散系數時，一般都是在普通的擴散系數上加上分形特征的修正，由張東暉等人的模擬結果可知，分形多孔介質中的擴散系數已不是常數，而是隨徑向距離的增大而呈指數下降：

式中，D。為歐氏空間的擴散系數；D_df為分形結構中的擴散系數；r為擴散的距離；θ為分形指數，與多孔介質分形維數d_f和譜維數d有關，由張東暉等人的推導可知θ=2(d_f-d)/d。這實際表明：在分形結構中隨著擴散徑向距離的增大，擴散變得越來越困難，這是由于分形結構孔隙分布的不均勻性造成的。